Aufgabe:

Zeigen Sie mit der Definition der Konvergenz, dass die Folge ( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} ) mit

a) ( x_n = 42 + (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+42}} ), ( n \in \mathbb{N} )

konvergiert. Formulieren Sie hierzu zunächst eine Vermutung über den Grenzwert und bestimmen Sie den kleinsten Index ( N = N(\epsilon) ), sodass für ein beliebig kleines ( \epsilon > 0 ) die Definition der Konvergenz erfüllt ist.

Hinweis: Nutzen Sie wo nötig, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend auf ([0, \infty)) ist.

Um zu zeigen, dass die gegebene Folge \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) konvergiert, und um den Grenzwert zu bestimmen, betrachten wir zunächst die Definition der Folge:

\[ 
x_n = 42 + (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+42}} \quad \text{für} \quad n \in \mathbb{N}.
\]

**Vermutung über den Grenzwert:**

Wenn \( n \) gegen unendlich geht, wird der Term \(\frac{1}{\sqrt{n+42}}\) immer kleiner, da der Nenner (die Quadratwurzel von \( n+42 \)) immer größer wird. Der Ausdruck \( (-1)^n \) wechselt zwischen \( -1 \) und \( 1 \). 

Somit vermuten wir, dass \( x_n \) um 42 oszilliert und dass die Amplitude der Oszillation (\(\frac{1}{\sqrt{n+42}}\)) immer kleiner wird. Daher vermuten wir, dass die Folge gegen 42 konvergiert:

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = 42.
\]

**Beweis der Konvergenz mit der Definition:**

Die Definition der Konvergenz einer Folge \( (x_n) \) gegen den Grenzwert \( L \) besagt, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \( n \geq N \) gilt:

\[
|x_n - L| < \epsilon.
\]

Für unsere Folge bedeutet das:

\[
|x_n - 42| = \left|42 + (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+42}} - 42\right| = \left|(-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+42}}\right| = \frac{1}{\sqrt{n+42}}.
\]

Wir wollen nun zeigen, dass für ein gegebenes \(\epsilon > 0\) ein Index \( N \in \mathbb{N} \) existiert, sodass für alle \( n \geq N \):

\[
\frac{1}{\sqrt{n+42}} < \epsilon.
\]

**Bestimmung des Index \( N \):**

Wir haben die Ungleichung:

\[
\frac{1}{\sqrt{n+42}} < \epsilon.
\]

Dies ist äquivalent zu:

\[
\sqrt{n+42} > \frac{1}{\epsilon}.
\]

Quadrieren beider Seiten ergibt:

\[
n+42 > \frac{1}{\epsilon^2}.
\]

Daraus folgt:

\[
n > \frac{1}{\epsilon^2} - 42.
\]

Wählen wir nun \( N \) als den kleinsten natürlichen Index, sodass die Ungleichung erfüllt ist:

\[
N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon^2} - 42 \right\rceil.
\]

Damit haben wir gezeigt, dass die Folge \( (x_n) \) gegen den Grenzwert \( 42 \) konvergiert und dass der kleinste Index \( N = N(\epsilon) \) so gewählt werden kann, wie oben angegeben.

### Möchten Sie mehr Details zu diesem Beweis oder haben Sie weitere Fragen? 

**Verwandte Fragen:**
1. Wie zeigt man, dass eine andere Folge gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert?
2. Was passiert, wenn die Funktion in der Definition der Folge ein anderes Vorzeichen hat?
3. Wie ändert sich der Beweis, wenn die Startzahl 42 durch eine andere Zahl ersetzt wird?
4. Was ist die Bedeutung von \(\epsilon\)-\(\delta\) Definitionen in der Analysis?
5. Welche Rolle spielt die Monotonie der Quadratwurzelfunktion in der Konvergenzanalyse?

**Tipp:** Beachten Sie, dass die Verwendung der Funktionseigenschaften (wie Monotonie) oft hilfreich ist, um die Konvergenz zu bestimmen oder abzuschätzen.

Learn how to prove the convergence of the sequence (x_n) = 42 + (-1)^n * (1 / sqrt(n + 42)). Understand the definition of convergence, formulate a hypothesis about the limit, and determine the smallest index N such that the sequence satisfies the convergence definition. Suitable for university-level mathematics.

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